任何思想很少是橫空出世，這就和你優化參數一樣，你不可能突然跳到一組成功的參數。在面對的問題瓶頸時，我想我可能存在什麼思考盲點和古人類似。
這時候你就可以直接從「歷史開源知識庫 HistoryHub」下載古人思維的 version 1, 2, 3。從中去看出到底在什麼時間點 ，古人的思維從一個跳到另一個，而你可能正好欠缺。
笛卡兒甩鍋，說代數之父不是我
被後代稱為代數之父、發明 a, b, c, x, y, z 的現代用法的笛卡兒，不只一次在他的著作中以「帕普斯分析學」稱為代數法。
也就是說，他認為令 x, y, z 這種技巧，他在著作中是稱為「帕普斯分析學」，那我們來看看，帕普斯到底給笛卡兒什麼啟發。
歐幾里得的數學 vs. 帕普斯的數學
我們可以從歐幾里得的定理敘述，和帕普斯的敘述了解到帕普斯的特色。
首先我們來看歐基里德著名的幾何定理－－驢橋定理，你看不懂也沒關係：
笛卡兒認為，不是沒有摸索過程，而是最後證明被整理得清楚之後，這些過程被抹除了，只留下最精簡、必要的推論過程。
在我們上一篇文中，我們講到亞里斯多德以來，對於數學存有一種偏見，認為最終確定的、不可懷疑的才是數學，所以使得許多摸索的過程不被記錄。
我們看到的都是被「量身訂做」的數學，被形塑以好的數學，是一個綜合的數學。
而帕普斯的定理如下，看不懂也沒關係，我只是截圖其中一頁，我使用的數學史學家 Athanasius Treweek 於 1938 年在梵諦岡抄寫，帕普斯原始著作的抄本（你可以在這裡觀看 歷史資料）：
你可以看到他畫了許多輔助線，並且有大量文字描述摸索的過程，在摸索的過程中 ，他就令了許多未知數 x, y, z 兩相比較之下，風格就差異很大。
笛卡兒的著作《心靈指導原則》第四卷
在笛卡兒的《心靈指導原則》的 第四卷，開宗明義標題就寫：
「我們需要一個方法去尋找真理（There is need of a method for finding out the truth.）」
在這一卷中，他首先把那些【亂猜】和帕普斯那種【有意義的猜】做分界
亂猜不行喔！母湯喔！但是有意義的猜是 OK 的！
接著呢，他就開始批評古代幾何學家：
「... 我們有充分的證據，古代幾何學家曾利用某種他們加以推廣的分析，來解決所有的問題，雖然他們不願意向後代提供這個訣竅。」
簡單來說，就是 古人都不教 啦！
在批判歐幾里得的《幾何原本》的時候，笛卡兒說：
「...他更喜歡展現... 某些貧乏無聊的真理，這些真理用演繹的方式證明，作為他們的技巧成果充分表明獨創性，才贏得我們對這些成就的讚美。」
OK，歐幾里得好棒棒！但你的好棒棒，是因為你用特別方法去論證。
「運氣比技巧更經常能發現那些淺薄的論證，從某種意義上來說，人們終止使用自己的理性。」
這段就直接開砲了，你的那些方法一般人想得到就和丟骰子一樣啦，結果造成根本人人都變豆腐腦，就是背你的解法，照你的步驟做。
然後談著談著談著，就談到 帕普斯的分析法，笛卡兒寫說：
「... 這揭示的整個方法，在於把未知項作為好像他們是已知項來處理，...
沒有任何東西阻擋我們達到這個結果，因為從我們工作的開始，我們就已經假定，我們承認在探究中的未知項依賴於已知項，前者由後者來確定。」
笛卡兒這邊就認為，爽，這種題目要求什麼，我們就令什麼當 x 的方法，是萬能方法！沒有東西可以阻擋我了哇哈哈哈哈哈！
「...使用這種推理方法，我們就必須找出與我們掌握的未知項一樣多的項，而這些未知項做為好像已知來處理，以便直接處理這個問題。
...因為這種表達會給我們提供與存在的未知項一樣多的方程式。」
這邊笛卡兒就說，只要能找到和未知數一樣多的方程式，就能解啦。在笛卡兒之後 30-50 年，一位帕斯卡的好友兼數學家阿爾諾（Antonine Arnauld）在著作中寫到他對笛卡兒的評論：
「...也許就是一般人所說的動人的分析，它較多的存在於心智的判斷與洞察力之中，而較少的存在於具體的法則之中。」
這正巧呼應我們前一篇談到，為什麼閱讀大師知識，遠比跟在大師旁有差。
座標幾何的起源：如何用 x, y 描述軌跡？
由於帕普斯留下的許多數學問題，都和軌跡是有關的，這可以從知名的【帕普斯鏈（Pappus chain）】得知，就是兩圓中間夾的圓，它的圓心軌跡（虛線）
而當笛卡兒在學習與研究一個軌跡問題時：
「給定四條直線 AB 、 AD 、 EF 、 GH ，然後從某點 C 引 直線 CB、CD、CF、CH，各與一條所給定直線構成已知角 CBA、CDA、CFE、CHG。要求滿足 CB · CF = CD · CH 的 C 點的軌跡。」
笛卡兒做了一個大膽的嘗試，假定這個點已經存在，既然存在，我們怎麼描述這個軌跡？圖像化思考！
這邊，笛卡兒做一個大膽的嘗試，就是把 X, Y 所在的兩條直線，作為一個假想的主線，而這個假想的主線，就成為了後來的座標軸。
所以你說圖像化思考重不重要呢....
這和古代的歐幾里得的《幾何原本》著作風格不同，歐幾里得的幾何原本有一個特色，就是所有定理的描述之前，都是先證明這個定理的描述是可以透過作圖產生的。
所以也就是說，幾何原本有很強烈的風格，是在於它是在先存在，再論述的風格，而 笛卡兒發明座標幾何，更多一層涵義是在「它事先假定了存在」也就是它繼承了「帕普斯的思維」先進行假設，而打破了幾何原本以來的風格與亞里斯多德的偏見。
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