唸數學系時有一個情景印象深刻，就是老師在證明數學定理之前，有時候會有一個 分析（Analysis）的小節，分析的小節講解完之後，才會來到 證明（Proof），最後可能會有一個留意（Notice that..）或附註（Note that...）。
這個分析的小節，就是一種試探、初步的嘗試，假設這個定理可能為真的話，對應的可能哪些事情需要檢驗，從中整理思緒，然後大抵確定之後，就開始證明。
在大多數的數學教科書中，很少有分析這個小節，甚至連證明的部分都被簡化，我覺得這非常的寶貴，除此之外，你大概只有和老師討論習題作業的時候，能聞香－－看到老師怎麼解習題，才會知道他的「分析」。
這個過程珍貴到... 珍貴到，我有一次回到母校找老師抬槓，剛好一個學弟來問老師習題，我立馬拿手機錄下來：
歐幾里得與帕普斯
在古希臘的有一個很優秀的數學家，叫做歐幾里得，也被稱作幾何學之父，他有一個著名的著作《幾何原本》，就是把它證明的各種幾何定理，蒐集而成。
這樣的一本書，就像是一個已經完工的玻璃製品，你看到的是「結論」，而這個結論你聽完，也覺得沒什麼特別有問題的，你也就只能給他拍拍手。
真正這些理論如何產生？我要怎麼去思考問題？也就是比起玻璃杯，我更想知道的是玻璃吹出來的過程是什麼，可惜的是，這方面的資料不多，散佚在各處被零散的傳承下來。
我們可以找到的集大成，是在幾何原本出現的 600 年後，西元 320 年 帕普斯 所留下的《數學彙編》，帕普斯是一個數學老師，這本書裡面針對歐幾里得的《幾何原本》做了一些評論。
這些評論中最重要的事情，是 帕普斯不是用數學證明的方式，在描述數學證明。這是一個極其重要的事情，這代表他記錄下來的就是「如何思考」「分析問題」的流程。
也因此，帕普斯的那本《數學彙編》其實就是把玻璃燒出來的過程技巧：
古希臘數學史學家希思（Heath）曾說過：「《數學彙編》是一個極其重要的珍藏品，並取代了 那些被剝奪走時間的古代著作。」
希思的講法多麼生動，被剝奪走了的時間（time has deprived）！也就是說當我們看到歐幾里得的《幾何原本》，就如同一個玻璃杯已經成形，你不會留意到需要花多少時間才能讓玻璃杯做好。
也因為帕普斯和歐幾里得的兩相對照，我們可以發現一個很重要的事情，那就是在證明數學的過程中，我們 說明它（描述玻璃杯）、和 尋找它（製作玻璃杯）是兩件不同的事。
帕普斯迴路（Pappus Circuit）
帕普斯的《數學彙編》就像國中學數學一樣，一個題目可能不只有一個解法，例如一個定理也可以有好多種證明方式，那我們會優先想到什麼證明方式呢？這取決於我們先假設什麼為真。
例如有時候老師會講解一個題目最常見的解法，叫做 解一，接著講解一個不容易想到的解法，叫做 解二。要想到這個 解二，你可能要更細心、更大膽地去猜測它的組合。
也就是說，帕普斯揭露了證明的過程中存在一種模式，這個模式被匈牙利的數學哲學家拉卡托斯（Lakatos）稱作 帕普斯迴路（Pappus Circuit）。
我們可以用一個例子來說明，假設我們覺得五邊形內角和應該是固定的，就像是三角形內角和固定 180 度一樣，首先我們會有一個推論的命題，把猜想和線索連結起來：
當你開始形塑想法，尋找機會的時候，你勢必得一步步回到更根本的前提，也就是所謂的把大問題分解成小問題，每個小問題的解法都是清楚而已知的（公理）。
那這樣所有小問題的解法組合起來，就變成大問題的解法了：
當然這種解法會依賴你最剛開始是怎麼思考這個問題，而你最後提出解法的時候，就會是你的原先推測的流程的反轉，這就是拉卡托斯說的帕普斯迴路。
從分析到綜合
你剛開始想的方向不同，你得到的證明就會不一樣，這就和歐幾里得的《幾何原本》的概念不同，因為幾何原本是在「說明」，也就是對應的帕普斯迴路第二條：由右到左，由公理推論證明到一個定理，是一個描述玻璃杯的過程。
而帕普斯對《幾何原本》的評論，就是說明和解釋這個的由來，也就是對應帕普斯迴路的第一條：由左到右，由一個猜想拆解分析回頭到已知、不需懷疑的基本原則，是一個製造玻璃杯的過程。
這兩個迴路，分別對應的就是由左至右的「分析」，以及由右到左的「綜合」。
為什麼由右到左叫做「綜合」呢？這個字不太容易理解，它的英文是 Synthetic ，也有合成、人造的意思。
如果你現在懂帕普斯迴路，懂什麼是把大問題變成小問題，你就知道綜合的意思，就是把你的各種嘗試、切入的角度整理起來，變成一個能推論猜想為真的過程。
600 年的沉默，亞里斯多德的偏見
你可能會好奇一件事情，奇怪，為什麼歐幾里得的幾何原本，沒有把這個分析過程寫進去呢？這個過程不是很重要嗎？這就要講到古希臘人對於「數學證明」的偏見。
古希臘哲學家亞里斯多德，在它的著作《後分析篇》中指出，數學應該要和哲學一樣，真正的證明應該是「確定的」、「最終的」。
用現在的話來講，真正談得上是證明的，應該是【充分且必要】也就是具備充要條件的數學性質，才是證明。
所以透過帕普斯迴路：分析－綜合，不斷前前後後、雙向通車，沉澱出來的才是數學證明：
反之，如果不能雙向成立的數學理論，就代表還有需要我們更深入挖掘的部分，這不能算是數學證明。也因為此，造成許多「分析」的概念沒有刻意流傳下來，而是零星散於各處的評論與附註。
直到十六世紀，算到公元前 300 年也要將近 2000 年的時光，笛卡兒的出現，才有了正式文件上對於分析綜合的懷疑，笛卡兒在其著作中曾寫過一段：
「...古代幾何學家在他們的著作中只使用到綜合，不是因為他們完全不理解分析方法，在我看來，而是因為他們把分析的價值抬得很高，並作為重要秘密想要歸他們自己保留下來。」
這段話笛卡兒就講明，古代聖哲們都偷藏不教啦！其實想想也是合理，分析的技巧就像是實務上的經驗累積，其實本來就不容易描述，但這才是真正的關鍵。
所以為什麼常常可以看到，歷史上很多師徒之間的傳承，明明你讀大師的作品也能把大師的理論架構吸收進去，但為什麼人家大師的徒弟才真的獲得真傳？因為你得到的只是「綜合」，而大師的徒弟學到的是「分析」呢！
哪個面向是更重要，更像是求生技巧、發大財的關鍵，也就顯而易見了。希望我在這個部落格，能讓你感覺到我是如何思考的，而不是在講解我的理論而已。
參考資料
數學、科學和認識論
Mathematics, Science and Epistemology
沒有留言:
張貼留言