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關於選擇權角度的赫斯頓模型（Heston）和赫爾懷特模型（Hull-White Model），網路上已經已很多人介紹，有興趣的可以自己搜尋，甚至你可以找到別人帶你寫程式，模擬模型假設的股價走勢。
下一部影片，我們會談在 1980 理論建立好之後，1990 的人開始驗證市場是否是隨機波動，答案是 Yes and No，No 的原因是因為學者開始能分析日內的交易資料，發現.... 驚！
隨機波動的數學
一般坊間常常談到隨機波動，都是直接從選擇權切入，我在影片中有提到，這其實忽略掉更早之前的人的思維轉變。
一般來說，我們可能會考慮市場價格由趨勢和波動組成，其中波動的幅度對應發生的機率是固定的，這就是我們所謂的波動率為常數的概念：
如果考慮隨機波動，等於波動存在一個他自己的變化的特徵：
如果考慮波動對市場存在波動之間的微弱相關，也就是當大波動之後容易大波動，小波動之後容易小波動，等於我們能把當前波動水準，作為波動變化的參考：
我們可以先看一個一般資料均值回歸的變化：
我們可以發現，如果有一筆資料存在均值回歸，代表他的變化量也要存在均值回歸，當市場價格過度偏離他的基本價值，市場的波動會回歸到低波動；當市場價格逐步回到他的基本價值，市場波動會回歸高波動。
也就是一個上下震盪不停的資料，他的變動量本身也是上下震盪不停，就如同 KD, RSI, CCI 等指標相同。 對於數學好一點的朋友這應該不難理解，Sin 函數的微分，還是 Cos 函數。
基於此點，我們只要把波動的隨機性，考慮成均值回歸，那麼這組波動對應的市場走勢，也就具備了均值回歸的描述能力：
最後，我們就得到了隨機波動的理論模型，如果我們現在看到隨機波動的數學，我們也就不害怕了：
前面最後一張圖解均值回歸，要有感覺，因為你在交易的時候，看到市場價格和 ATR，你叫要去看出來他們之間是否有這樣均值回歸的特性。
你可以拉一條 MA 出來，在 ATR 上面放一條橫線作為均值回歸的水平，喬 MA 的線、喬 ATR 的水平線，如果喬對了，你就會觀察到均值回歸的特性。
而我在〈PPP 作為起手式：使用 PLI 外匯分析教學〉中分析最後畫的圖，就能略為感覺一下：
進階補充：
對於數學好的朋友，我想提一下我在影片中沒有講到的，Heston 一個很重要的工作，是給予了隨機波動理論模型下，選擇權價格的公式解（close-form option valuation，或稱封閉解）。
公式解在實務上的用處，就等於不需要花時間進行數值逼近，定價的時間成本趨近於 0，這也是為什麼後續許多人做了許多選擇權定價理論，仍然鮮少被使用的原因。
因為多數時間他雖然算得更準，但是沒有公式解，只能用數值分析去逼近答案，只要得花時間，就幾乎無法大規模的同時計算所有衍生性商品不同到期／不同履約價的理論價格，這對於大型金融機構是很大的障礙。
尤其是在時間越接近到期日，金融機構就越需要做大量的 Gamma Hedge，所以時間成本不單單只是絕對的計算成本，還包含相對成本，計算時間相對剩餘到期時間，會是一個重大壓力。
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